音乐的美妙和背后的数学理性思考者的盛宴

　　从古代到现代，从西方到东方，研究音乐和数学的关系在一直是交叉学科的热门课题。现在我们听到的是江南小调《》。中国古曲也有数学知识在其中。我国古代音乐“宫、商、角、徵、羽”的五音阶就起源于数学算法。春秋时期的思想家管仲所写的杂论名著《管子》当中，就记录了这个我国音乐史上著名的“三分损益法”。

　　我们知道孔子说的六艺是“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学。即从孔子时代，就已经把音乐与数学并列在一起研究了。

　　中国的七弦琴(即古琴)取弦长1，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所谓的13个徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，是很理想的弦乐器。中国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，必须有一定的数学素养。

　　《命运交响曲》的宏大、《月光》的灵动、《梁祝》的深情，当在聆听和享受这些美妙的音乐时大多数人都无法将其与严肃的数系起来。

　　感性的音乐与理性的数学可谓是两个极端，音乐是作为我们抒发感情、表现感情的一种感性艺术，数学则是一种通过抽象的思辨、严谨的逻辑论证等思维方式构建起的“思维体操”，从表面看二者并没有明显的联系，其实音乐中到处都是数学。

　　现行的西方音乐是12 音阶, 即一个八度共有12 个半音。我们按照毕达哥拉斯的两个规则可帮乐器调音: 以中央C 為基準。设这个音的频率是v, 则高八度的C 频率是2v, 高八度G 的频率是3v。因此G 的频率是3/2v。因此我们得到G 的频率了。经过多次地观察与反复地比较，他终于发现三弦琴发声的协调性与琴上三根弦的长度有着密切联系，三根弦的长度比例为 3: 4: 6 时最为适合。

　　他发现每根振动着的弦只要按音乐数的比例划分，就可以产生不同的音程。这和铁匠铺里的打铁的声音高低是随着铁锤的大小和敲击力度的轻重变化而变化的原理一样。

　　后来，他继而发现声音在质上的差别，如声音的长短、高低、强弱等等是由发音体数量的差别而产生差别的。

　　被拨动琴弦的每一组和谐组合都可以记为整数的比例，按照比例增加弦的长度就能产生音阶。如从产生音高C的弦开始，C的16 /15 长度给出B，C的6 /5长度给出A，C的4 / 3长度给出G，C的3 / 2长度给出F，C的8 / 5 长度给出E，C的16 /9长度给出D，C的2 /1长度给出低音C。由此他得出结论：音乐能够反映出的作为宇宙本质的数理关系，能够体现作为宇宙根本规律的“和谐”。

　　这是第一次，将一种自然现象——声音——能够通过数字进行解释，而这之前从来没有过。毕达哥拉斯相信，音乐的和谐在一体的宇宙里也可以反映出来，数字及其之间的关系可以解释万物。

　　菲波那契数列结构是1、1、2、3、5、8、13、21、34、 55、89……其规律是每一项（从第三项起）都是前两项之和。而“黄金分割”在数学中的比例关系为较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，其比值为0.618。它们都与音乐的结构有着密切的联系。

　　菲波那契数列在音乐作品中所表现出来的暂时的不平衡与局部的不对称，使音乐更具有的某种感召力和表现力。

　　仔细观察一下，在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键又分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键，而2、3、5、8、13这一列数，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。比如5=2+3、8=5+3……以此类推。这就是大名鼎鼎的斐波那契数列中的前面几个数。

　　比如，匈牙利作曲家巴托克作品《弦乐、打击乐与钢片琴音乐》的第一乐章，全曲共89小节，从点划分为两个部分，分别为55和34小节，按照作曲家对音色和强度的布局，我们将开始到的部分(55小节)划分为34+21小节，将到结尾的部分(34小节)划分为13+21小节。我们会发现这些小节数与菲波那契数字惊人的一致，并且小节的划分正是遵循了菲波那契数列结构的规律。

　　1970年，我国著名琵琶演奏家刘德海决心运用“优选法”，寻找在琵琶没根弦上能发出最佳音色的点，不久，华罗庚教授用数学方法帮助他解决了这一难题，在弦长的1/12处，弹出的声音格外优美动听。1980年5月在全国琵琶演奏会上，几十位演奏家听了“最佳点”的演奏后，一致认为数学与音乐之间有着深奥的内在联系。

　　比如，莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。

　　D大调奏鸣曲第一乐章Franz Joseph Haydn - 歌曲合辑，贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的，并伴随着调式、调性的转换，与黄金分割区基本吻合。

　　虽然这并不能代表全部的音乐，但是也足以说明在创作音乐时对于音乐结构的设置以及安排已经具备了科学、理性的数学认知。这些音乐结构所体现出的比例、平衡感、有序感都让人们感受到了数学公式、定理的抽象、严谨、以及逻辑性很强的形式美感。

　　大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不为大家所知。一年四季，昆虫的鸣叫此起彼伏。其中，蟋蟀的鸣叫尤为起劲，鸣声也多种多样。我国自古就有“蟋蟀上房叫，庄稼挨水泡”等谚语，以此作为人们识别天气、安排农耕的有利依据。

　　难道在蟋蟀歌声的背后还有着我们不曾了解的数学秘密吗？其实，蟋蟀唱歌的频率可以用来计算温度。我们可以用一次函数来表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数， t 代表温度。按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了！

　　这一现象最早是美国物理学家和发明家Amos Dolbear于1897年发现的，他总结出温度和蟋蟀鸣叫次数之间关系的Dolbear定律。计算这一温度计算公式，只在华氏45度（摄氏7.22度）以上时才起作用。低于这个温度，蟋蟀就开始变得行动迟缓。如果温度过高，超过华氏90度（摄氏32.22度），蟋蟀就会大幅度地减少鸣叫的次数以节省能量。

　　再后来，日本的一位中学数学教师，从中学时始就从圆周率的无限不循环小数中感觉到一种音乐韵律。他根据曲子的抑扬顿挫来确定相对音符节拍的长短，然后将这一乐谱输入电脑并对曲调进行加工，从而创作出一些优美的乐曲。

　　著名数学家笛卡尔，在《谈谈方法》中曾写道：“我们可以在任何事物中获得与算术和几何示范相等同的确信”，他认为音乐的美可以在很大程度上用科学术语来解释，而音乐之美其实就是数学之美。

　　十二平均律—— 人们注意到五度律十二声音阶中的两种半音相差不大，如果消除这种差别对于键盘乐器的转调将是十分方便的，因为键盘乐器的每个键的音高是固定的，而不象拨弦或拉弦乐器的音高由手指位置决定。消除两种半音差别的办法是使相邻各音频率之比相等，这是一道中学生的数学题——在 1 与 2 之间插入 11 个数使它们组成等比数列，显然其公比就是，并且有如下的不等式

　　历史资料记载中的十二平均律发明者在欧洲是荷兰人斯特芬（Stevin约1548 - 约1620），他于1600年前后用两音频率比 严格地确立了十二平均律；在中国是明代科学家、音乐家朱载堉（1536 - 1612），他表述的十二平均律甚至将及各次幂均计算到小数点后24位（约完成于1581年前）。十二平均律的确立是人类艺术禀赋的贯通性在音乐文化方面的又一惊人表现。

　　在音乐漫长的发展历程中，最初的音乐创作更多的是处于一种随意、混沌、散漫的状态，而在发现数学理性与音乐感性之间的联系之后，理性的音乐作曲意识被唤醒。爱因斯坦也曾形象地称这个世界可以由乐谱组成，也可以由数学公式组成。当音乐遇见数学，两者相结合所揭示的自然和谐的统一规律，是音乐理论所追求的美学价值，也是数学理论所追求的美学价值。

　　事实上，随着对数学与音乐关系之认识的不断加深，以数学计算代替作曲，已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化，把音程、节奏、音色等素材都编成数码，然后按照需求发出指令，以计算器的功能进行选择，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面，都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以，对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学，必然能更好地为从事音乐事业作知识预备。

　　正如莱布尼茨的名言所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，乐音激荡，而数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。就让我们沉醉其中，纵情感受它们的魅力吧！